MATEMÁTICA 4° GRADO

HISTORIA DE LOS NÚMEROS
¿Qué son los números? ¿Para qué sirven? ¿Desde cuando los utilizamos? Conoce todo esto y más con el siguiente video

Teoría de conjuntos - 4° grado

      Conjuntos  

Debes aprender...

Un conjunto es la reunión de elementos que tienen una o mas características en común.

Para representar un conjunto, se agrupan sus elementos en una linea cerrada llamada diagrama, o se escriben sus elementos entre llaves.

Colocamos llaves en los elementos del conjunto.

F = { Pera, Fresa, Banano}

Clasificación de conjuntos 

                                                              

No se pueden enumerar              P = {0, 1,  2, 3 …} todos sus elementos         

Se pueden enumerar                   Q = {2, 4, 6, 8}

todos sus elementos.

Tiene un solo elemento.              R = {7}

No tiene elementos.                    S = {  } 

Relación de contenencia o inclusión

Sea G el conjunto de los animales que viven en la granja

 Fíjate en los

subconjuntos

que podemos formar.

El conjunto A está contenido en el conjunto G =   A Ì G

El conjunto N está contenido en el conjunto G =  N Ì G

Intersección de conjuntos

¿Quiénes practican baloncesto y natación?

Hallamos los elementos comunes de B y N.

Ana y Beto

Practican baloncesto

El conjunto intersección está formado por los

elementos comunes de ambos conjuntos.

Intersección de conjuntos

Los conjuntos no tienen elementos comunes.

Unión de conjuntos

Para preparar su jugo de frutas, Gabriel separa los ingredientes en dos conjuntos.

Hallamos la unión de los conjuntos F y P.

El conjunto unión está formado por los elementos de ambos conjuntos.

¿Quiénes participarán en los concursos?

Hallamos la unión de los conjuntos M y D.

Ahora, observa la imagen

Jose dice que Kathy se equivocó al escribir que S Ì T.

Él afirma que hay elementos de S que no están en T.

¿Es correcta la afirmación de Jose?¿Por qué?

Diagramas de Venn - Ejercicios Resueltos

¿Qué son los diagramas de venn?

Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.

Ejercicio explicado

NUMERACIÓN DECIMAL

NÚMEROS DE HASTA NUEVE CIFRAS.

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Para afrontar con éxito las operaciones básicas es fundamental conocer bien la descomposición de los números. Esta descomposición se debe hacer mental y tienen que ser conscientes de que un mismo número se puede descomponer de varias maneras.

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NÚMEROS NATURALES

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Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque para algunos, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …

Con sólo diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9), podemos formar cualquier número de nuestro sistema de numeración. El conjunto de todos estos números se denomina “Números Naturales” y se representa por N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14…}

La cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.

Así, en el Sistema Decimal, 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden inmediatamente superior.

Por ejemplo, 10 unidades forman 1 decena y 10 centenas de millar forman 1 millón.

Nuestro sistema de numeración decimal se llema así porque las unidades aumentan y disminuyen de diez en diez. Cada unidad de un orden superior equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior.

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1 decena = 10 unidades
1 centena = 10 decenas
1 unidad de millar = 10 centenas
1 decena de millar = 10 unidades de millar

1 D = 10 U
1 C = 10 D
1 UM = 10 C
1 DM = 10 UM

El valor de una cifra depende del lugar donde vaya colocada en el número.

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Ejemplo.

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Una misma cifra 3

En el número 535 vale 30 porque representa 3 decenas.

En el número 30.268 vale 30.000 ya que representa 3 decenas de millar.

ECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES

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Para leer un número se separan las cifras en grupos de tres y se coloca un punto. Luego se lee cada grupo por separado y en los puntos se dice millones y mil.

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Escribamos números de forma desarrollada

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La forma de escribir un número mostrando el valor individual de cada dígito que forma el número, se llama forma desarrollada.

Por ejemplo, 1,234,134 se puede escribir como:

1,234,134 = 1,000,000 + 200,000 + 34,000 + 100 + 30 + 4

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Ejemplo.

El número 35.792.074 se lee “treinta y cinco millones setecientos noventa y dos mil setenta y cuatro”.

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DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

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Puede servir de ayuda la construcción de tabla donde figuren los distintos órdenes de unidades.

Ejemplo.

35.792.074 = 3 dM + 5 uM + 7 CM + 9 DM + 2 UM + 0 C + 7 D + 4 U
35.792.074 = 30.000.000 + 5.000.000 + 700.000 + 90.000 + 2.000 + 0 + 70 + 4
La cifra 7, que aparece dos veces, según sea decenas de millar CM o decenas D, tiene diferente valor (700.000 ó 70).

ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

Para ordenar los números naturales.

1º) Vemos si tienen distinta cantidad de cifras. En tal caso será más pequeño el que menos cifras tenga.
2º) Si tienen la mima cantidad de cifras, comparamos las primeras cifras (cifras de la izquierda) y es mayor el que tenga la primera cifra mayor.
3º) Si tienen la la primera cifra igual, se compara la segunda y así sucesivamente

Ejemplo.

12.424 > 9.525 porque el primero tiene 5 cifras.
25.678 > 25.600 porque ambos comienzan por 256 y en cuarto lugar (lugar de las decenas) el primero lleva un 7 y el segundo un 0, que es menor.

Orden y comparación de números naturales

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El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualquiera uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se utilizan para establecer la relación de orden entre dos números son:

165 es mayor que 99 165 > 99

269 es menor que 271 269 < 271

Primero comparas la cantidad de cifras de los números. Es mayor el número que tiene más cifras.

Por ejemplo:

23,456 y 230,598.

Como 23,456 tiene 5 cifras y 230,598 tiene 6 cifras, entonces 230,598 es mayor.

230,598 > 23,456 ó 23,456 < 230,598

Si ambos números tienen igual cantidad de cifras, entonces comparas la primera cifra de la izquierda. Es mayor el número que tiene un dígito mayor en esa posición.

Como 3 es mayor que 1, entonces 30,456 es mayor que Si ambos números tienen igual cantidad de cifras, entonces comparas la primera cifra de la izquierda. Es mayor el número que tiene un dígito mayor en esa posición.

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Por ejemplo:

18,479 y 30,456

Como 3 es mayor que 1, entonces 30,456 es mayor que 18,479.

30,456 > 18,479 ó 18,479 < 30,456

Si la primera cifra de la izquierda es igual en ambos números, entonces comparas la cifra de la segunda posición. Es mayor el número que tiene el dígito mayor en esa posición.

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Por ejemplo:

57,480 y 54,990

Como 7 es mayor que 4, entonces 57,480 es mayor que 54,990. También podrías comparar el número completo, es decir 57 y 54.

57,480 > 54,990 ó 54,990 < 57,480

Si las dos primeras cifras de la izquierda son iguales, entonces comparas las de la siguiente posición.

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Por ejemplo:

348,300 y 345,268

Como 8 es mayor que 5, entonces 348,300 es mayor que 345,268. También podrías comparar el número completo, es decir 345 y 348.

348,300 >345,268 ó345,268 < 348,300

Siguiendo esta misma dinámica puedes comparar dos números de cualquier cantidad de cifras.

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Por ejemplo:

los números 19,045, 34,608, 18,890, 34,450 y 120,340 ordenados de menor a mayor quedan así:

18,890 < 19,045 < 34,450 < 34,608 < 120,340

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OPERACIONES COMBINADAS

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Para poder comprender perfectamente las operaciones combinadas es necesario repasar antes las operaciones básicas que en ellas vamos a tener que utilizar.

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TÉRMINOS DE LA SUMA

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Los términos de la suma se llaman sumandos y el resultado suma o total.

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. SUMA DE NÚMEROS NATURALES

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Para sumar números naturales se colocan en columna unidades con unidades, decenas con decenas, centenas
con centenas y así sucesivamente. Tendremos en cuenta si en cada columna sale diez y nos llevamos una, o veinte y nos
llevamos dos, o treinta y nos llevamos tres…

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Ejemplo.

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56.891 + 252 + 4.370 + 15 = 61.528 ………….     56.891, 252, 4.370 y 15 son los sumandos…. 61.528 es la suma o total.

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PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS NATURALES

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Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. Al sumar dos números da igual sumar el primero con el segundo que el segundo con el primero.

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Ejemplo.

4 + 5 = 5 + 4 4 + 5 = 9 5 + 4 = 9

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Propiedad asociativa: Al sumar tres números da igual sumar los dos primeros y lo que salga sumarlo con el tercero que sumar los dos últimos y lo que salga sumarlo con el primero.

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Ejemplo.

(4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6)
(4 + 5) + 6 = 9 + 6 =15 4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15

Vamos a practicar un poquito la suma.  Sólo tienes que pulsar en la imagen.

. TÉRMINOS DE LA RESTA

Los términos de la resta se denominan minuendo al de arriba, sustraendo al de abajo y resta o diferencia al resultado que se obtiene.

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RESTA DE NÚMEROS NATURALES

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Para sumar números naturales se colocan en columna unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente. Se comienza a restar por las unidades (parte izquierda).

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Ejemplo.
Operación: 90.164 – 5.348 = 84.816
Minuendo = 90.164
Sustraendo = 5.348
Resta o diferencia = 84.816

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OJO: Si el número de arriba o del minuendo es menor que el del sustraendo, se le suman 10 y nos llevamos una para la siguiente columna.

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PRUEBA DE LA RESTA

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Una resta está bien hecha cuando sumamos el sustraendo con la diferencia y nos sale el minuendo.
Minuendo = sustraendo + diferencia

Ejemplo.

5.349 + 84.816 = 90.164
Como al sumar el sustraendo con la diferencia sale el minuendo, podemos afirmar que la resta está bien hecha.

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¿Quieres seguir repasando las sumas, restas y multiplicaciones?   PULSA LA SIGUIENTE IMAGEN.

TÉRMINOS DE LA MULTIPLICACIÓN

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Una multiplicación es una suma de sumandos iguales.              5 + 5 + 5 + 5 =             5 x 4 =                20

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Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado producto. Generalmente al número de arriba o número
primero se denomina multiplicando y al segundo número o número de abajo multiplicador.

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4 y 5 son los factores, 4 es el multiplicando, 5 el multiplicador y 20 el producto.

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

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Para multiplicar un número por otro de varias cifras:

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1º Se multiplica el primer factor por la cifra de las unidades del segundo.
2º Se multiplica el primer factor por la cifra de las decenas del segundo y se anota debajo, pero empezando a
colocar las cifras debajo de la columna de las decenas (porque multiplicamos decenas).
3º Se multiplica el primer factor por la cifra de las centenas del segundo y se anota debajo, pero empezando a
colocar cifras debajo de las cifras de las centenas (porque multiplicamos centenas).
4º Y así sucesivamente.
5º Finalmente sumamos los resultados anteriores y obtenemos el producto.

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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

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Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Al multiplicar dos números da igual multiplicar el primero por el segundo que multiplicar el segundo por el primero, el resultado no varía.

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Ejemplo:

4 x 5 = 5 x 4 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20

Propiedad asociativa: Al multiplicar tres números da igual multiplicar los dos primeros y lo que salga por el tercero que multiplicar los dos últimos y lo que salga por el primero.

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Ejemplo:

(4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6)
(4 x 5) x 6 = 20 x 6 = 120 4 x (5 x 6) = 4 x 30 = 120

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Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos.

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Ejemplo:

4 x (5 + 3) = (4 x 5) + (4 x 3)
4 x (5 + 3) = 4 x 8 = 32 (4 x 5) + (4 x 3) = 20 + 12 = 32

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Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la diferencia: El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos de ese número por cada uno de los números restados.

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Ejemplo:

4 x (5 – 3) = (4 x 5) – (4 x 3)
4 x (5 – 3) = 4 x 2 = 8 (4 x 5) – (4 x 3) = 20 + 12 = 8

PARA PRACTICAR HAS CLICK EN LA IMAGEN:

OPERACIONES COMBINADAS

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      Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticaspara resolver. Para obtener el resultado correcto deben seguirse unas reglas.

       Primero calculamos los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y las restas.

Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin cambiarlo de posición.

Prioridad de las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar los productos y cocientes.

4 Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

• Sin paréntesis
• Con paréntesis
• Con corchetes
• Con llaves

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

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1.1 Combinación de sumas y diferencias

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =

= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

Efectuamos las sumas y restas.

2. Operaciones combinadas con paréntesis

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(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) =

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)=

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad.

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

A pesar que de me llamareis pesado, creo que es bueno volver a explicar todo el proceso de las operaciones combinadas.

El orden que hay que seguir para realizar operaciones combinadas es jerárquico: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Estas operaciones no se pueden realizar de manera aleatoria, hay que seguir un orden:

• Paso 1: Realizamos las operaciones que estén dentro de los paréntesis.

Por ejemplo:  3 x ( 2 + 4 )

Primero hacemos la operación de dentro del paréntesis: 2 + 4 = 6

Después realizamos la operación: 3 x 6 = 18

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• Paso 2: Hacemos las multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha.

Por ejemplo:  24 : 6 x 2

Primero realizamos la división porque está mas a la izquierda que la división: 24 : 6 = 4

Después hacemos la multiplicación: 4 x 2 = 8

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• Paso 3: Por último, hacemos las sumas y restas.

Por ejemplo:  2 + 3 x 5

Primero hacemos la multiplicación: 3 x 5 = 15

Después hacemos la suma: 2 + 15 = 17

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Vamos a ver un ejemplo de operaciones combinadas: 6 + ( 8 – 3) x 2

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Primero hacemos el paréntesis: 8 – 3 = 5

De esta manera, nos queda: 6 + 5 x 2

Ahora hacemos la multiplicación: 5 x 2 = 10

Y por último nos queda la operación  de sumar: 6 + 10 = 16

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Vamos a ver otro ejemplo de operaciones combinadas:  21 : 3 + 7 x 4

Lo primero es hacer los paréntesis, pero en este caso no hay.

Lo siguiente en hacer las multiplicaciones y divisiones:  21 : 3 = 7 y por otro lado 7 x 4 = 28

Ahora nos queda solo la suma: 7 + 28 = 35

Para acabar todo esto, os dejo un resumen de las operaciones combinadas.

Operaciones combinadas Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas:

– Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el   siguiente orden:                               1) Paréntesis 2) Multiplicación y división 3) Suma y resta  – Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos.

Operaciones combinadas.

Es una expresión formada por números en operaciones diversas y agrupados de formas diversas mediante paréntesis, corchetes y llaves. Para resolver operaciones combinadas debemos dominar todo lo estudiado anteriormente.

– La misión de los paréntesis es la de unir o “empaquetar” aquello a lo que afectan.– Los signos de multiplicar unen más que los de sumar y restar, es decir, cuando dos números están unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable, mientras que si los une un signo de sumar o restar están más sueltos.- Debemos conocer las propiedades de las operaciones para no hacer algo que sea incorrecto.- Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar. – Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición. – Por eso, antes de comenzar a resolver operaciones combinadas debemos observar la expresión y plantearnos una estrategia a seguir, lo que vamos a hacer antes y después. – Como norma general es aconsejable comenzar resolviendo lo del interior de paréntesis, seguir luego con las multiplicaciones y terminar realizando las sumas que queden.  Hemos revisado cada una de las operaciones matemáticas: adición, sustracción, multiplicación y división. Conocimos los elementos que tiene cada operación: Sumandos y suma de la adición. Minuendo, sustraendo y resta o diferencia para la sustracción. Factores y producto, de la multiplicación Dividendo, divisor y cuociente; y el resto, que aparece cuando no es exacta, de la división. Identificamos a la sustracción (o resta) como operación inversa de la adición (o suma) y a la división, como la inversa de la multiplicación. Muchas veces las operaciones van combinadas, es decir, hay 2 o más operaciones juntas y se deben resolver todas para obtener el resultado final. . Adición y sustracción(Suma y Resta) . Si un ejercicio presenta adición y sustracción, debemos resolver las operaciones en el orden que se presentan, comenzando desde la izquierda. Un ejemplo: Como la sustracción va primero, obtenemos la resta, que en este caso es 1740. Luego , la anotamos debajo y, después, le sumamos los 5.234. El resultado final es 6.974. En el caso que la adición estuviera en primer lugar, quedaría: Primero resolvemos la adición , y a la suma obtenida le restamos 1.348. El resultado final es 4.817 . Un signo especial . Hay un signo muy utilizado que nos señala las operaciones que se deben hacer primero; lo conocemos como paréntesis ( ) . Cuando hay paréntesis, los debemos resolver en primer lugar. Analicemos el siguiente ejemplo: Como puedes ver, los paréntesis se resuelven en el orden que aparecen de izquierda a derecha. Se pone el resultado de las operaciones, que van dentro de ellos, debajo de cada uno. Luego, se obtiene la suma que está a la izquierda. Para terminar, restamos su resultado con el número final. POTENCIACIÓN La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 7 · 7 · 7 · 7 = 74 Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 7. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. Ha practicar has clic en la imagen: MÚLTIPLOS Y DIVISORES